Ortonormal basis

Hvad er en ortonormal basis?

En ortonormal basis er en samling af vektorer i et vektorrum, der har særlige egenskaber. For at forstå hvad en ortonormal basis er, er det først nødvendigt at forstå begreberne ortonormalitet og basis.

Definition

En samling af vektorer kaldes ortonormal, hvis de er både ortogonale og har en længde på 1. En vektor er ortogonal med en anden vektor, hvis deres indre produkt er lig med 0. Længden af en vektor er defineret som kvadratroden af vektorens indre produkt med sig selv.

En basis for et vektorrum er en samling af vektorer, der kan bruges til at repræsentere alle vektorer i vektorrummet ved hjælp af lineær kombination. En basis skal være lineært uafhængig, hvilket betyder at ingen af vektorerne kan skrives som en lineær kombination af de andre vektorer i basen.

En ortonormal basis er derfor en basis, hvor vektorerne er både ortogonale og har en længde på 1.

Egenskaber

En ortonormal basis har flere vigtige egenskaber:

  • Enhver vektor i vektorrummet kan repræsenteres som en lineær kombination af vektorerne i den ortonormale basis.
  • De ortonormale vektorer er lineært uafhængige, hvilket betyder at ingen af vektorerne kan skrives som en lineær kombination af de andre vektorer i basen.
  • Den ortonormale basis er unik, hvilket betyder at der kun findes én ortonormal basis for et givet vektorrum.

Ortonormal basis i lineær algebra

Ortonormal basis i vektorrum

I lineær algebra bruges ortonormale baser til at repræsentere vektorer og udføre beregninger i vektorrum. En ortonormal basis gør det nemt at beregne indre produkter, projekteringer og lineære transformationer.

Ortonormal basis i matrixrepræsentationer

I matrixrepræsentationer bruges ortonormale baser til at diagonalisere matricer og løse lineære ligningssystemer. En ortonormal basis gør det nemt at beregne egenvektorer og egenrum.

Ortonormal basis i funktionelle rum

Ortonormal basis i Hilbert-rum

I funktionelle rum bruges ortonormale baser til at repræsentere funktioner og udføre beregninger i Hilbert-rum. En ortonormal basis gør det nemt at beregne Fourier-rækker og Fourier-transformer.

Ortonormal basis i L²-rummet

I L²-rummet, der er et specielt funktionelt rum, bruges ortonormale baser til at repræsentere kvadratisk integrable funktioner. En ortonormal basis gør det nemt at beregne indre produkter, normer og ortogonale projekteringer.

Anvendelser af ortonormal basis

Kvantisering i kvantemekanik

I kvantemekanik bruges ortonormale baser til at repræsentere tilstande og udføre beregninger på kvantesystemer. En ortonormal basis gør det nemt at beregne sandsynligheder, forventningsværdier og usikkerheder.

Signalbehandling og Fourier-analyse

I signalbehandling og Fourier-analyse bruges ortonormale baser til at repræsentere og analysere signaler. En ortonormal basis gør det nemt at beregne frekvensspektre, filtrering og komprimering af signaler.

Konstruktion af en ortonormal basis

Gram-Schmidt-ortogonalisering

Gram-Schmidt-ortogonalisering er en metode til at konstruere en ortonormal basis ud fra en given basis. Metoden bruger ortogonalisering og normalisering til at generere de ortonormale vektorer.

Fourier-rækker og Fourier-transform

Fourier-rækker og Fourier-transform bruges til at konstruere ortonormale baser i funktionelle rum. Disse metoder udnytter periodicitet og komplekse eksponentialfunktioner til at generere de ortonormale funktioner.

Sammenligning med andre typer af baser

Ortogonale baser

En ortogonal basis er en samling af vektorer, der er ortogonale, men ikke nødvendigvis har en længde på 1. En ortogonal basis kan bruges til at repræsentere vektorer og udføre beregninger, men den har ikke de samme egenskaber som en ortonormal basis.

Ikke-ortonormale baser

En ikke-ortonormal basis er en samling af vektorer, der hverken er ortogonale eller har en længde på 1. En ikke-ortonormal basis kan bruges til at repræsentere vektorer, men den har ikke de samme egenskaber som en ortonormal basis.

Ortonormal basis og lineær uafhængighed

Basisudvidelse og -reduktion

En ortonormal basis kan udvides ved at tilføje nye lineært uafhængige vektorer. En ortonormal basis kan også reduceres ved at fjerne vektorer, der kan skrives som lineær kombination af de andre vektorer i basen.

Dimension af et vektorrum

Dimensionen af et vektorrum er antallet af vektorer i en basis for vektorrummet. For et vektorrum med en ortonormal basis er dimensionen lig med antallet af vektorer i basen.